Fractales

de Marcus du Sautoy

¿QUÉ TIENEN EN COMÚN LOS RAYOS, EL BRÓCOLI Y LOS MERCADOS BURSÁTILES?

"En 1960, el matemático francés Benoît de Mandelbrot fue invitado a impartir en el Departamento de Economía de la Universidad de Harvad una conferencia sobre sus trabajos recientes relativos a la distribución de las rentas altas y bajas. Cuando entró en el despacho del profesor que lo había invitado, se llevó una gran sorpresa al ver que las gráficas que había preparado para su charla aparecían dibujadas en la pizarra.  "¿Cómo ha conseguido mis datos con antelación?", preguntó. Lo curioso es que aquellas gráficas no tenían nada que ver con niveles de ingresos: representaban variaciones en los precios del algodón, que el profesor había estado analizando en una clase anterior.

Este parecido espoleó la curiosidad de Mandelbrot y lo llevó a descubrir que si uno tomaba las gráficas de conjuntos diversos de datos económicos, sin relación alguna entre sí, estas gráficas presentaban formas muy similares. Y no sólo esto, sino que las gráficas parecían ser también las mismas, independientemente de los plazos de tiempo que estaban representados en ellas. Por ejemplo, las variaciones del precio del algodón a lo largo de ocho años parecían las mismas que las variaciones a lo largo de ocho semanas o que las variaciones a lo largo de ocho horas.

El mismo fenómeno ocurre con la costa de Gran Bretaña. (Vista la misma línea de costa a tres escalas diferentes) ¿quién sería capaz de decir cuál de los tres mapas corresponde a cada escala? Por mucho que nos acerquemos o nos alejemos, estas formas parecen tener el mismo nivel de complejidad. Esto no pasa con todas las formas. Si trazamos una línea sinuosa y vamos aumentando de tamaño una porción de ella, en algún momento empezará a parecer muy sencilla. Lo que caracteriza la forma de la línea de costa o las gráficas de Mandelbrot es que por mucho que aumentemos la imagen, se sigue conservando la complejidad de la forma.

Cuando Mandelbrot se puso a investigar un poco más descubrió que estas extrañas formas, que continúan siendo infinitamente complejas sea cual sea el aumento con el que se las mire, abundan en el mundo natural. Si fraccionamos la cabezuela de una coliflor y aumentamos la imagen, lo que vemos se asemeja notablemente a la coliflor de la partimos. Si aumentamos la imagen dentada de un relámpago, en vez de obtener algo recto, lo que vemos en el trozo aumentado es un copia del relámpago original. 

Mandelbrot bautizó a estas formas con el calificativo de "fractales", y se refería a ellas con la expresión "la geometría de la naturaleza", ya que representan un tipo de forma auténticamente nueva que sólo fue plenamente reconocida como tan en el siglo XX. 

Hay una razón práctica que explica la evolución natural de estas formas fractales. El carácter fractal de los pulmones humanos significa que, aunque estén alojados en el volumen finito de la caja torácica, su área superficial es enorme, y por lo tanto pueden absorber mucho oxígeno. Lo mismo es aplicable a otros objetos orgánicos. Los helechos, por ejemplo, buscan maximizar su exposición a la luz del sol sin necesidad de ocupar demasiado espacio. Recurren a la habilidad que posee la naturaleza para encontrar formas con la máxima eficacia. Igual que la burbuja descubrió que la esfera es la forma que mejor se adapta a sus necesidades, muchas formas vitales se han ido por el contrario al otro extremo del espectro, eligiendo formas fractales de una complejidad infinita.

Lo más notable de las formas fractales es que, aunque tienen una complejidad infinita, pueden de hecho generarse con reglas matemáticas muy simples." pág. 101,102 y 103.

Marcus du Sautoy  "Los mi5terios de los númer6s" Editorial El Acantilado 2012